Алексей Андреевич Ляпунов родился 8 октября 1911 г. в Москве в семье, которая была связана родственными и дружескими узами с семьями выдающихся представителей русской интеллигенции того времени — Сеченовыми, Крыловыми, Филатовыми и  другими. С детских лет Алексей Андреевич находился в среде известных высокообразованных людей. Это определило широкий круг его интересов. Увлечение математикой пробудил у него отец, который учился в Московском университете, а также в Гейдельберге и Геттингене. В 1928 году Алексей Андреевич закончил специальную среднюю школу N 42. Некоторое время он работал лаборантом в Государственном геофизическом институте у известного физика академика П. П. Лазарева. Выполняя математическую обработку геофизических и биофизических экспериментов, участвовал в экспедициях по изучению Курской магнитной аномалии. 

Сдав экстерном экзамены по университетским курсам в МГУ, он получает высшее образование. С 1932 г. под влиянием Н. Н. Лузина Алексей Андреевич углубленно изучает математику и включается в исследования в области теории множеств. Он сближается с ярким коллективом учеников и сотрудников Лузина (П. С. Александров, Н. К. Бари, Л. В. Келдыш, А. Н. Колмогоров, М. А. Лаврентьев, Л. А. Люстерник, Д. Е. Меньшов, П. С. Новиков и др.). В 1934-39 гг. А. А. Ляпунов публикует ряд работ по дескриптивной теории множеств и в 1939 г. защищает кандидатскую диссертацию «Об униформизации аналитических дополнений». 

В 1942 году Алексей Андреевич добровольцем уходит в ряды Советской армии. С 1943 по 1945 г. находится в действующей армии в качестве командира топографического взвода в артиллерии. За участие в боях по освобождению Крыма А. А. Ляпунов был награжден орденом Красной Звезды. 

С 1945 по 1951 гг. Алексей Андреевич преподает математику в Артиллерийской академии им. Дзержинского. Из его учеников по этой академии вышли военные ученые, среди них Н. П. Бусленко, С. Я. Виленкин, А. И. Китов, Н. А. Криницкий, В. И. Мудров, И. Б. Погожев, И. А. Полетаев и др. 
С 1946 по 1949 г. А. А. Ляпунов является докторантом Математического института им. В. А. Стеклова. Под руководством Петра Сергеевича Новикова он выполняет серию исследований по дескриптивной теории множеств и защищает докторскую диссертацию «Об операциях, приводящих к измеримым множествам». В 1950 г. ему присвоено звание профессора. 

В 1949-50 гг. А. А. Ляпунов работает в Институте геофизики АН СССР. В летний сезон 1950 г. он, начальник Северо-Тяньшаньской экспедиции, руководит работами по интерпретации гравитационных наблюдений и глубинного сейсмического зондирования. 

В 1951 г. Алексей Андреевич возвращается в МИАН, а в 1953 г. М. В. Келдыш приглашает его в Отделение прикладной математики этого Института в отдел кибернетики.

А. А. Ляпунов был одним из первых, кто оценил значение кибернетики и стал активным организатором исследований по кибернетике в нашей стране. 

Работы А. А. Ляпунова посвящены разработке общих вопросов кибернетики, математическим основам программирования и теории алгоритмов, математической лингвистике и машинному переводу, кибернетическим вопросам биологии, а  также философским и методологическим вопросам развития научной мысли. Им создан операторный метод программирования, который получил широкое распространение в реальном программировании и оказал огромное влияние на все последующее развитие теории программирования. 

Одновременно, с осени 1952 г., А. А. Ляпунов работает на механико-математическом факультете МГУ в качестве профессора кафедр математической логики и вычислительной математики. В 1953 г. он организует в МГУ семинар по программированию, в 1954 г. — семинар по исследованию проблем расширения возможных областей применения вычислительных машин. В 1955-56 гг. под его руководством работает семинар по вопросам, смежным для кибернетики и физиологии.

Особенно большую роль в координации работ и формировании новых направлений исследований сыграл междисциплинарный семинар по кибернетике, организованный А. А. Ляпуновым в МГУ в 1956 г. Семинар объединил ученых различных специальностей. Он стал центром зарождения кибернетической мысли в нашей стране.

Из числа регулярных участников семинара и учеников А. А. Ляпунова вышли известные ученые в области теоретической и прикладной кибернетики: А. П. Ершов, Ю. И. Журавлев, Н. П. Бусленко, О. Б. Лупанов, С. В. Яблонский, О. С. Кулагина, Р. И. Подловченко, М. Л. Цетлин, Ю. И. Янов и многие другие. 
Большое внимание А. А. Ляпунов уделял пропаганде и распространению идей кибернетики. Он основал издание серии сборников «Проблемы кибернетики», создал и редактировал серию книг «Кибернетика в монографиях», организовал публикацию переводов лучших работ зарубежных авторов в серии «Кибернетический сборник». 

В 1959 г. по инициативе А. А. Ляпунова при Президиуме АН создается Научный совет по комплексной проблеме «Кибернетика». По предложению А. А. Ляпунова председателем Научного совета назначается академик А. И. Берг, а А. А. Ляпунов становится его заместителем. 

Приняв приглашение М. А. Лаврентьева и С. Л. Соболева, в 1961 г. Алексей Андреевич переехал в Новосибирск во вновь созданное Сибирское отделение АН. Здесь по его инициативе создается Отдел кибернетики в Институте математики и кафедра теоретической кибернетики в Новосибирском университете. В 1970  г. А. А. Ляпунов переходит на работу в Институт гидродинамики СО РАН и  организует в нем лабораторию кибернетики. Этой лабораторией он руководил до конца своей жизни. 

За 12 лет, прожитых в Академгородке, Алексей Андреевич сумел осуществить многие из своих научных и педагогических замыслов. 

А. А. Ляпунов был ярким педагогом и пропагандистом научных знаний. Он был одним из инициаторов создания в 1962 г. первой в нашей стране физико-математической школы-интерната при Новосибирском университете, первым председателем ее Ученого совета и активным лектором. Он был также одним из организаторов Всесибирских математических олимпиад и летних физматшкол в Академгородке. 

В 1964 г. А. А. Ляпунов был избран членом-корреспондентом АН СССР по отделению математики. Научные, педагогические и организаторские заслуги А. А. Ляпунова отмечены правительственными наградами. Он был награжден орденом Ленина, двумя орденами Трудового Красного Знамени и орденом «Знак Почета». 

Алексей Андреевич скоропостижно скончался 23 июня 1973 г. в Москве и  похоронен на Введенском кладбище. Богатое наследие его планов и идей еще многие годы будет служить развитию науки.